Il moto circolare uniforme
Il vettore velocità
Finora abbiamo trattato la velocità come una grandezza scalare, cioè solo come un numero. In realtà la velocità è una grandezza vettoriale: per descriverla servono modulo, direzione e verso. Il vettore velocità v ha:
- modulo uguale alla velocità istantanea;
- direzione tangente alla traiettoria;
- verso concorde col verso di percorrenza della traiettoria.
Il moto circolare uniforme
Un punto materiale si muove di moto circolare se la sua traiettoria è una circonferenza. Se la velocità è costante in modulo, il moto si dice circolare uniforme: in ogni istante il vettore velocità è tangente alla circonferenza, ma la sua direzione cambia di continuo.
Periodo e velocità
Il periodo T è il tempo impiegato dal punto a percorrere l'intera circonferenza, che ha lunghezza 2π·r. Poiché il moto si ripete identico a ogni giro, il moto circolare uniforme è un moto periodico.
La velocità è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il periodo:
v = velocità (m/s); r = raggio della circonferenza (m); T = periodo (s).
v = 2π · rT = 2π · 2,50 m10,0 s = 1,57 m/s
La frequenza
La frequenza f è il numero di giri che il punto compie nell'unità di tempo. Si misura in hertz (simbolo Hz): 1 Hz = 1 giro al secondo.
Frequenza e periodo sono uno il reciproco dell'altro (il loro prodotto vale 1):
Usando la frequenza, la velocità si può scrivere anche così: v = 2π · r · f
T = 1f = 12 Hz = 0,5 s
L'accelerazione centripeta
In un moto circolare, anche se uniforme, è sempre presente un'accelerazione: il modulo della velocità resta costante, ma la direzione del vettore v cambia in ogni istante. Questa accelerazione è diretta verso il centro della circonferenza e si chiama accelerazione centripeta ac.
ac = accelerazione centripeta (m/s2); v = velocità (m/s); r = raggio (m).
ac = v2r = (1,57 m/s)22,50 m = 0,986 m/s2
La velocità angolare
La misura degli angoli: i radianti
Di solito gli angoli si misurano in gradi (°), ma nel Sistema Internazionale si usano i radianti (rad). L'angolo in radianti è il rapporto fra l'arco sotteso e il raggio della circonferenza:
Arco e raggio sono due lunghezze: il loro rapporto è un numero puro. Per questo il radiante è una grandezza adimensionale, ma in fisica si indica comunque con il simbolo rad.
Tutta la circonferenza (arco = 2π·r) sottende un angolo giro: 360° = 2π rad. Quindi:
Per convertire si usa la proporzione: αrad : π = αgradi : 180°
αrad = π · 60°180° = 2π · 60°360° = 1,05 rad
La velocità angolare
La velocità angolare ω (si legge «òmega») è il rapporto fra l'angolo descritto dal raggio e l'intervallo di tempo impiegato a descriverlo. Si misura in radianti al secondo (rad/s).
ω = π/2 rad4 s = 0,39 rad/s
La velocità angolare nel moto uniforme
In un giro completo il raggio descrive 2π rad nel tempo di un periodo T, perciò:
In un corpo rigido che ruota, tutti i punti hanno la stessa velocità angolare ω; cambia invece la velocità v (tangenziale), che dipende dalla distanza dall'asse.
Relazioni tra v e ω e tra ac e ω
Partendo da v = 2π·r/T e sostituendo 2π/T con ω:
Sostituendo v = ω·r in ac = v2/r:
Il moto armonico
La proiezione del moto circolare sul diametro
Se osserviamo da lontano un punto P che si muove di moto circolare uniforme, vediamo solo la sua proiezione Q sul diametro andare avanti e indietro lungo un segmento. Il moto della proiezione Q si chiama moto armonico. È un moto periodico ma non uniforme: in tempi uguali Q percorre tratti diversi.
- il centro dell'oscillazione è il centro della circonferenza;
- l'ampiezza dell'oscillazione è uguale al raggio r;
- il periodo del moto armonico è uguale a quello del moto circolare uniforme.
Periodo e pulsazione
Nel moto armonico la pulsazione ω è la stessa velocità angolare del moto circolare da cui il moto armonico deriva. Periodo e pulsazione sono collegati da:
La legge oraria
La posizione s di Q rispetto al centro, all'istante t, nella forma più semplice della legge oraria del moto armonico, è:
A = ampiezza (m, pari al raggio); ω = pulsazione (rad/s, pari alla velocità angolare); t = tempo (s). Questa forma vale quando all'istante iniziale il punto si trova nell'estremo positivo dell'oscillazione, cioè s = A.
Se il moto parte da una posizione diversa, si può usare la forma generale: s = A · cos(ω · t + φ), dove φ è la fase iniziale.
s = r · cos(ω · t) = 10 cm · cos(1,25 rad/s · 1,0 s) = 10 cm · cos(1,25 rad) = 3,2 cm
Il grafico spazio-tempo
Il grafico di s in funzione di t è una cosinusoide: nella scelta iniziale s(0)=A parte dal valore massimo, scende fino a −A, risale e si ripete a ogni periodo T. La velocità è massima al centro e nulla agli estremi.
L'accelerazione del moto armonico
L'accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione, ma ha segno opposto: quando s è positiva a è negativa, e viceversa. È sempre diretta verso il centro dell'oscillazione.
Il moto parabolico
Lancio con velocità orizzontale
Una biglia che lascia un tavolo con velocità orizzontale è soggetta contemporaneamente a due moti indipendenti: uno orizzontale rettilineo uniforme e uno verticale di caduta libera (uniformemente accelerato). I due moti non si influenzano a vicenda.
v0 = velocità orizzontale iniziale (m/s); g = 9,8 m/s2; t = tempo (s). Qui sy indica lo spazio percorso verso il basso: abbiamo scelto positivo il verso della caduta.
Se invece scegliamo l'asse verticale positivo verso l'alto, la posizione si scrive: y = y0 − 12gt².
Negli esercizi spesso si conosce l'altezza h da cui il corpo cade. Prima trovi il tempo di caduta, poi la distanza orizzontale:
Queste formule valgono per un lancio orizzontale, trascurando l'attrito dell'aria.
sx = v0 · t = 2,0 m/s · 0,10 s = 0,20 m
sy = 12 · g · t2 = 0,5 · 9,8 m/s2 · (0,10 s)2 = 0,049 m verso il basso
Lancio con velocità obliqua (proiettile)
Se il corpo è lanciato con velocità v0 che forma un angolo α con l'orizzontale, la velocità iniziale si scompone in:
La componente orizzontale rimane costante; quella verticale diminuisce in salita (fino a zero al punto più alto) e aumenta in discesa. La traiettoria è ancora una parabola.
Se scegliamo il verso positivo verso l'alto, la velocità verticale cambia secondo:
Il tempo di volo indicato vale quando il corpo parte e arriva alla stessa altezza.
Si ottiene quando la velocità verticale diventa zero.
Vale se partenza e arrivo sono alla stessa altezza e l'attrito è trascurabile.
Le formule del moto parabolico usate qui valgono trascurando l'attrito dell'aria. Inoltre le formule di gittata, tempo di volo e angolo di massima gittata a 45° valgono nella forma indicata quando il corpo parte e arriva alla stessa altezza. In presenza di attrito la traiettoria non è più una parabola perfetta e la gittata risulta minore.
La composizione dei moti
La composizione degli spostamenti
Quando un corpo compie due spostamenti simultanei — per esempio una biglia lanciata sul pavimento di un vagone in movimento — lo spostamento risultante rispetto a terra è la somma vettoriale dei singoli spostamenti:
Stesso verso: Δs = 10 m + 15 m = 25 m
Verso opposto: Δs = −10 m + 15 m = 5 m
La composizione delle velocità
Dividendo gli spostamenti per il tempo si ottiene la legge di composizione delle velocità: la velocità assoluta è la somma vettoriale della velocità relativa e di quella di trascinamento.
v = velocità assoluta (rispetto a terra); v′ = velocità relativa (rispetto al treno); vt = velocità di trascinamento (del treno rispetto a terra).
v = v′ + vt = 1,0 m/s + 1,5 m/s = 2,5 m/s
Velocità perpendicolari
Se la velocità relativa e quella di trascinamento sono perpendicolari, il modulo della velocità assoluta si trova con Pitagora:
La composizione delle accelerazioni
Se la velocità di trascinamento non cambia e il sistema di riferimento in moto non ruota (per esempio un treno che procede diritto a velocità costante), allora la biglia ha la stessa accelerazione rispetto al treno e rispetto a terra:
La mappa dei fondamentali
Moto circolare uniforme
Angoli e moto armonico
Moto parabolico
Composizione dei moti
- Riconosci il tipo di moto: circolare, armonico, parabolico o composizione di moti.
- Nel moto circolare, parti sempre da T (o f): da lì ricavi v, ω e ac.
- Nel moto parabolico, tratta separatamente il moto orizzontale (uniforme) e quello verticale (accelerato), scegliendo chiaramente il verso positivo dell'asse verticale.
- Nella composizione, somma sempre i vettori (con i segni o con Pitagora se perpendicolari), mai i numeri "a occhio".
Strumenti per allenarti
⟳ Calcolatore del moto circolare uniforme
Inserisci il raggio e scegli se conosci il periodo o la frequenza: ottieni v, ω, ac e l'altra grandezza. Puoi usare la virgola.
°↔rad Convertitore gradi ↔ radianti
Scrivi un valore: ottieni la conversione nell'altra unità (1 rad ≈ 57,3°).
∿ Grafico del moto armonico
Muovi i cursori dell'ampiezza e della pulsazione: vedi la cosinusoide s = A·cos(ω·t) cambiare dal vivo.
s = 10 · cos(1,5 · t)
T = 2π/ω = … s
⌒ Calcolatore del lancio obliquo
Inserisci velocità iniziale e angolo: calcolo componenti, tempo di salita, altezza massima, gittata e tempo di volo (g = 9,8 m/s²). Gittata e tempo di volo valgono se partenza e arrivo sono alla stessa altezza e l'attrito è trascurato.
↔ Promemoria rapido
- v = 2π·r/T = ω·r
- f = 1/T ; ω = 2π/T = 2π·f
- ac = v²/r = ω²·r
- moto armonico: s = A·cos(ω·t) se s(0)=A; a = −ω²·s; T = 2π/ω
- orizzontale: sx=v0·t ; sy=½·g·t² (verso il basso)
- da altezza h: t=√(2h/g) ; sx=v0·t
- obliquo: vx=v0·cosα ; vy=v0·senα
- tsalita=vy/g ; tvolo=2vy/g ; h=vy²/(2g)
- gittata=2vxvy/g solo se stessa altezza; max 45°
- composizione: v = v′ + vt (vettoriale)