Lo studio del moto
La cinematica
La cinematica è la parte della fisica che studia i corpi in movimento, senza occuparsi delle cause. Per semplificare, gli oggetti vengono considerati puntiformi (privi di dimensioni): è accettabile quando le dimensioni del corpo sono piccole rispetto allo spazio in cui si muove.
Traiettoria e sistema di riferimento
La traiettoria è la linea descritta dal corpo che si muove nello spazio. Può essere una retta (moto rettilineo, per esempio un treno in pianura) o una curva (per esempio l'orbita ellittica della Terra attorno al Sole).
Per studiare un moto rettilineo serve un sistema di riferimento, formato da: un'origine (punto O), un verso di percorrenza (indicato da una freccia) e un'unità di misura. La posizione di un punto è data dalla sua coordinata. Su un piano servono 2 coordinate (x, y), nello spazio 3 coordinate (x, y, z).
Lo spazio percorso e lo spostamento
Tra l'istante t1 (posizione s1) e l'istante t2 (posizione s2):
- lo spazio percorso è la lunghezza del tragitto effettivamente seguito lungo la traiettoria (è sempre positivo);
- lo spostamento è la differenza tra la posizione finale e quella iniziale; è un vettore che unisce direttamente il punto iniziale a quello finale, e ne consideriamo il modulo.
Solo se il corpo si muove lungo una retta orientata senza tornare indietro, lo spazio percorso si calcola come differenza tra le coordinate:
In questo caso lo spazio percorso coincide con il modulo dello spostamento. Se la traiettoria è curva oppure il corpo torna indietro, lo spazio percorso è maggiore del modulo dello spostamento.
modulo dello spostamento (il diametro): 2 · R = 2 · 50 = 100 m
spazio percorso (la semicirconferenza): π · R = 3,14 · 50 ≈ 157 m
Che cosa vede il fisico · il GPS
Il ricevitore GPS acquisisce la posizione da una rete di satelliti a intervalli di tempo regolari (per esempio ogni secondo): questo si chiama campionamento della posizione. A ogni passo calcola il modulo dello spostamento tra una misura e la successiva, e sommando questi tratti ottiene una stima dello spazio percorso.
Più l'intervallo Δt tra due misure è piccolo, più la stima è precisa: con intervalli lunghi, su una strada tutta curve (tornanti) il GPS "taglia" le curve e sottostima lo spazio realmente percorso. Per questo nelle gare molto veloci serve campionare più spesso.
La velocità
La velocità media scalare
La velocità media scalare è il rapporto fra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo. Unità di misura nel SI: il metro al secondo (m/s).
Spesso si scrive anche vm = (s2 − s1)/(t2 − t1): ma s2 − s1 è lo spostamento lungo una retta orientata. Coincide con lo spazio percorso solo nel moto rettilineo senza inversioni; se il corpo torna indietro, usa lo spazio realmente percorso.
vm = 660 m60 s = 11 m/s
Convertire km/h e m/s
La velocità si esprime spesso anche in chilometri all'ora (km/h). Per passare da un'unità all'altra:
Per esempio: 90 km/h ÷ 3,6 = 25 m/s · 72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s · 25 m/s × 3,6 = 90 km/h.
Il grafico spazio-tempo
Sul grafico spazio-tempo il tempo è in orizzontale e la posizione in verticale. Un tratto in salita indica che il corpo si allontana; un tratto orizzontale indica che è fermo (la posizione non cambia). Più ripida è la linea, più veloce è il moto.
Il grafico velocità-tempo
Sul grafico velocità-tempo il tempo è in orizzontale e la velocità in verticale. Ogni tratto indica la velocità in quell'intervallo di tempo: un tratto in salita significa che il corpo accelera, uno in discesa che decelera, un tratto orizzontale che la velocità è costante. Dove v = 0 il corpo è fermo.
Se la velocità è positiva, l'area compresa fra la linea e l'asse dei tempi rappresenta lo spazio percorso nell'intervallo.
La velocità istantanea
La velocità calcolata in un intervallo di tempo Δt molto piccolo prende il nome di velocità istantanea v: è la velocità "in quell'istante". Il tachimetro dell'auto misura la velocità istantanea.
La velocità media dice solo "in media" quanto andavamo veloci sull'intero tragitto: è un'informazione grossolana. Suddividendo il percorso in intervalli più piccoli si ottiene una descrizione via via più precisa, fino alla velocità istantanea.
Il moto rettilineo uniforme
Una velocità sempre costante
Il moto rettilineo uniforme è un moto su una retta in cui la velocità è costante in qualsiasi intervallo di tempo. In questo moto la velocità media coincide con la velocità istantanea: si parla quindi solo di "velocità" v.
Poiché la velocità è costante, spazio e tempo sono direttamente proporzionali: la costante di proporzionalità è proprio la velocità.
La legge oraria
La legge oraria esprime la posizione s in funzione del tempo t. Se all'istante t = 0 il corpo parte dall'origine (s0 = 0) diventa semplicemente s = v · t.
1 min = 60 s → s = v · t = 20 · 60 = 1200 m
Il significato della pendenza
Nel grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniforme la pendenza della retta coincide con la velocità:
Se la pendenza è negativa (v < 0), il corpo torna indietro, verso l'origine. Il grafico velocità-tempo, invece, è una semiretta orizzontale: la velocità non cambia nel tempo.
auto: v = 600 m20 s = 30 m/s → s = 30 · t moto: v = (600 − 200) m20 s = 20 m/s → s = 200 + 20 · t
L'accelerazione
Le variazioni di velocità
La maggior parte dei moti non avviene a velocità costante. Quando la velocità aumenta diciamo che il corpo accelera; quando diminuisce diciamo che decelera (o frena). L'accelerazione misura quanto rapidamente cambia la velocità.
L'accelerazione media
L'accelerazione media è il rapporto fra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui avviene. Unità di misura nel SI: il metro al secondo quadrato (m/s²).
Δv = 34 km/h ÷ 3,6 = 9,4 m/s ; Δt = 20 s
am = 9,4 m/s20 s = 0,47 m/s²
Accelerazione e decelerazione
Se il corpo si muove nel verso positivo scelto per l'asse:
- se la velocità aumenta → Δv > 0 → a > 0 → moto accelerato;
- se la velocità diminuisce → Δv < 0 → a < 0 → moto decelerato;
- se Δv = 0 → a = 0 → velocità costante.
v1 = 36 km/h ÷ 3,6 = 10 m/s ; v2 = 0 → Δv = −10 m/s
am = −10 m/s40 s = −0,25 m/s² (decelera)
"Accelera" e "decelera" non dipendono solo dal segno di a: dipendono dal verso scelto come positivo. Un corpo che si muove nel verso positivo decelera se a < 0; ma un corpo che si muove nel verso negativo può avere a < 0 e accelerare. La regola è: il moto accelera quando il modulo della velocità aumenta, decelera quando diminuisce.
L'accelerazione istantanea
L'accelerazione calcolata in un intervallo di tempo Δt molto piccolo è l'accelerazione istantanea a. Lo strumento che la misura direttamente è l'accelerometro.
Gli accelerometri di smartphone, tablet e droni sono sensori MEMS (Micro Electro-Mechanical Systems), grandi pochi millimetri. Al loro interno contengono minuscoli elementi meccanici (masse, molle e leve): quando il dispositivo accelera, per inerzia le parti mobili si spostano rispetto a quelle fisse, e questo spostamento viene trasformato in un segnale elettrico misurabile.
Di solito un sensore unisce tre accelerometri orientati lungo gli assi x, y e z (accelerometro triassiale), così da misurare l'accelerazione in qualsiasi direzione. È ciò che permette di ruotare automaticamente lo schermo, di contare i passi o di stabilizzare un drone.
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
Il moto ad accelerazione costante
Un moto rettilineo in cui l'accelerazione è costante si dice uniformemente accelerato. La velocità cambia sempre della stessa quantità in ogni secondo: per esempio con a = 0,5 m/s² la velocità aumenta di 0,5 m/s ogni secondo.
La legge della velocità
v0 = velocità iniziale; a = accelerazione costante; t = tempo. Se la partenza è da fermo (v0 = 0) si ha v = a · t. Se il corpo si muove nel verso positivo e a < 0, il moto è uniformemente decelerato (la velocità diminuisce di |a| ogni secondo).
v = a · t = 0,5 · 2,2 = 1,1 m/s · v = 0,5 · 6,6 = 3,3 m/s (triplo del tempo → tripla la velocità)
L'accelerazione di gravità
Se l'attrito dell'aria è trascurabile, un corpo lasciato cadere si muove con accelerazione costante, detta accelerazione di gravità g ≈ 9,8 m/s². La velocità di caduta vale:
v = g · t = 9,8 · 2,0 = 19,6 m/s
La velocità di caduta non dipende dalla massa né dalla forma del corpo: questo vale solo se trascuriamo l'attrito dell'aria. Nel vuoto, una piuma e una biglia toccano terra insieme.
L'accelerazione su un piano inclinato
Un corpo che scende lungo un piano inclinato di altezza h e lunghezza l, trascurando gli attriti, ha accelerazione costante:
Poiché h/l < 1, un corpo su un piano inclinato scende sempre più lentamente di un corpo in caduta libera.
a = g · h/l = 9,8 · 12100 = 1,2 m/s²
v = a · t = 1,2 · 10 = 12 m/s
Leggi orarie e grafici
Lo spazio percorso dall'area del grafico
In un grafico velocità-tempo, l'area compresa fra la linea della velocità e l'asse dei tempi rappresenta lo spazio percorso dal corpo, se la velocità è positiva. In generale quell'area rappresenta lo spostamento con segno: i tratti con v > 0 contano positivi, quelli con v < 0 contano negativi (il corpo torna indietro).
La legge oraria del moto accelerato
Lo spazio percorso è direttamente proporzionale al quadrato del tempo: il grafico spazio-tempo è una parabola.
Tre contributi: s0 (posizione di partenza), v0·t (annullo se parto da fermo), ½·a·t² (annullo se vado a velocità costante).
s = v0·t + ½·a·t² = 10 · 20 + ½ · 0,5 · 20² = 200 + 100 = 300 m
v0 = 72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s → tempo di arresto: 0 = v0 − a·t → t = 20/2,0 = 10 s
spazio (area del triangolo sotto il grafico v-t): Δs = ½ · v0 · t = ½ · 20 · 10 = 100 m
La mappa dei fondamentali
Velocità e accelerazione
m/s → km/h : × 3,6
Moto uniforme e uniformemente accelerato
- Hai velocità costante? È moto uniforme: usa s = s0 + v·t. Controlla le unità (m/s o km/h).
- L'accelerazione è costante (non zero)? È uniformemente accelerato: la velocità segue v = v0 + a·t, la posizione s = s0 + v0·t + ½·a·t².
- Serve lo spazio percorso da un grafico v-t? Calcola l'area (rettangolo, triangolo o trapezio).
- Un corpo cade? È caduta libera con a = g = 9,8 m/s².
Strumenti per allenarti
÷×3,6 Convertitore km/h ↔ m/s
Inserisci una velocità e scegli la direzione: puoi usare la virgola.
v=Δs/Δt Velocità media
Inserisci spazio percorso e tempo: ottieni la velocità media in m/s e in km/h.
s=v·t+s₀ Moto rettilineo uniforme (dal vivo)
Muovi i cursori: vedi cambiare la pendenza della retta nel grafico spazio-tempo e la posizione al tempo t.
s = v·t + s₀
La pendenza della retta è la velocità: più alta è v, più ripida è la linea. Il punto evidenziato mostra la posizione al tempo t scelto.
v=v₀+a·t Moto uniformemente accelerato (dal vivo)
Muovi i cursori: il grafico velocità-tempo è una retta e, poiché qui la velocità è positiva, l'area sotto di essa (azzurra) rappresenta lo spazio percorso.
v = v₀ + a·t
s = v₀·t + ½·a·t²
L'area sotto la retta velocità-tempo (trapezio), se la velocità è positiva, rappresenta lo spazio percorso: ecco perché s = v0·t + ½·a·t².
⬇ Caduta libera
Quanto è caduto e con che velocità arriva un sasso lasciato cadere (g = 9,8 m/s², attrito trascurabile)?
↔ Promemoria rapido
- velocità media scalare: vm = spazio percorso / Δt (in m/s)
- km/h → m/s : ÷ 3,6 ; m/s → km/h : × 3,6
- accelerazione media: am = Δv/Δt (in m/s²)
- a > 0 accelera · a < 0 decelera · a = 0 velocità costante
- uniforme: s = s0 + v·t (pendenza = v)
- unif. accelerato: v = v0 + a·t
- unif. accelerato: s = s0 + v0·t + ½·a·t²
- caduta libera: v = g·t ; Δs = ½·g·t² (g = 9,8 m/s²)