L'equilibrio di un punto materiale
Equilibrio e punto materiale
Un corpo è in equilibrio quando la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. In questo caso può essere fermo, oppure muoversi con velocità costante. Negli esempi più semplici consideriamo corpi fermi, come una biglia sul tavolo, un'auto parcheggiata o un quadro appeso.
È un oggetto di dimensioni molto piccole rispetto al contesto: non ha forma né dimensioni, ma ha una massa. Semplifica lo studio perché non dobbiamo preoccuparci di dove sono applicate le forze.
La condizione di equilibrio
Un punto materiale è in equilibrio se e solo se la risultante di tutte le forze applicate è nulla. Se era fermo, resta fermo; se era già in movimento, continua a muoversi con velocità costante.
Esempio: sulla palla da biliardo agiscono due forze uguali e opposte di modulo 20 N. La risultante è nulla → la palla non si muove.
Le reazioni vincolari
Un vincolo è un oggetto che, esercitando una forza, impedisce certi movimenti. Le forze esercitate dai vincoli si chiamano reazioni vincolari.
Il tavolo esercita una reazione vincolare Rv verso l'alto che equilibra il peso:
La forza equilibrante
Quando un punto non è in equilibrio, per equilibrarlo basta applicare una forza uguale e opposta alla risultante delle forze applicate, detta forza equilibrante:
L'equilibrio e l'attrito
Un oggetto sul piano inclinato (senza attrito)
Sul corpo agiscono la forza-peso P e la reazione vincolare Rv. Conviene scomporre il peso in due componenti: P∥ (parallela al piano, fa scivolare) e P⊥ (perpendicolare, preme sul piano).
dove h è l'altezza e l la lunghezza del piano. Equivale a P∥ = P·sen α e P⊥ = P·cos α.
P∥ = P · hl = 100 · 1,32,6 = 50 N
Un oggetto non può rimanere in equilibrio su un piano inclinato senza attrito o senza una forza equilibrante: la componente P∥ lo fa scivolare verso il basso.
Piano inclinato con attrito
Se la cassa è ferma, la risultante è nulla: agiscono peso, reazione vincolare e attrito statico.
La reazione equilibra la componente perpendicolare (Rv = −P⊥) e l'attrito statico equilibra quella parallela (Fas = −P∥), con 0 ≤ Fas ≤ ks·P⊥.
L'angolo limite
Aumentando l'inclinazione α: P∥ aumenta e P⊥ diminuisce, quindi il massimo dell'attrito statico (ks·P⊥) cala. Per un certo valore αL, detto angolo limite, P∥ supera l'attrito massimo e l'equilibrio non è più possibile: la cassa scivola.
L'equilibrio di un corpo rigido
Il corpo rigido
Un corpo rigido è un oggetto dotato di forma e dimensioni, che non si deforma anche se soggetto a forze. A differenza del punto materiale, può sia traslare sia ruotare. Gli effetti di una forza dipendono da intensità, punto di applicazione e direzione.
Il braccio e il momento di una forza
Il braccio di una forza è la distanza fra il centro di rotazione O e la retta d'azione della forza. Il momento è il prodotto fra l'intensità della forza e il braccio.
F = intensità della forza; b = braccio, cioè la distanza perpendicolare tra il centro di rotazione O e la retta d'azione della forza. Unità di misura: newton per metro (N·m). Per convenzione il momento è positivo se la rotazione è antioraria, negativo se oraria; è nullo se b = 0 (la forza passa per O).
A volte non si conosce direttamente il braccio, ma si conosce r, cioè la distanza dal centro O al punto di applicazione della forza, e l'angolo θ compreso tra r e la forza. Il braccio si ricava allora da r:
Quando la forza è perpendicolare a r (θ = 90°, sen 90° = 1) si ha semplicemente b = r, e la formula torna a essere M = F · b.
Il braccio è la distanza perpendicolare dalla retta d'azione: b = r · sen 45° = 0,20 · 0,707 = 0,14 m.
Momento: M = F · b = 1 · 0,14 = 0,14 N·m (equivale a M = F · r · sen θ)
Equilibrio rispetto alla rotazione
Un corpo rigido che può ruotare attorno a O è in equilibrio quando la somma dei momenti è nulla:
Sull'altalena, ad esempio, vale P1·b1 = P2·b2. Esempio: 400 N · 2,5 m = 500 N · 2,0 m = 1000 N·m.
Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido
- Equilibrio alla traslazione: la risultante delle forze è nulla → R = F1 + F2 + … = 0
- Equilibrio alla rotazione: la somma dei momenti è nulla → M1 + M2 + … = 0
Le coppie di forze
Il momento di una coppia di forze
Due forze parallele, uguali e opposte, applicate in punti diversi di un corpo rigido, formano una coppia di forze. La risultante è nulla (il corpo non trasla) ma il momento è diverso da zero: il corpo ruota.
Il braccio della coppia bc è la distanza fra le due rette d'azione. Anche qui il momento è positivo se antiorario, negativo se orario.
M = F · bc = 20 N · 0,60 m = 12 N·m
Coppie equivalenti
Due coppie di forze sono equivalenti se, agendo sullo stesso piano e sullo stesso corpo, generano lo stesso momento, cioè stesso valore e stesso verso di rotazione. Possono essere formate da forze e bracci diversi, purché il prodotto F·bc sia lo stesso. Se invece due coppie hanno momenti uguali ma opposti, allora si equilibrano e il corpo rimane fermo.
Le macchine semplici
Il guadagno di una macchina
Una macchina semplice equilibra o vince una forza resistente Fr applicando una forza motrice Fm. Il guadagno è il loro rapporto (un numero puro):
La macchina è vantaggiosa se G > 1, svantaggiosa se G < 1, indifferente se G = 1. Esempio: sollevare 1000 N con 200 N → G = 5.
Le leve
Una leva è un corpo rigido che ruota attorno a un punto fisso, il fulcro. È in equilibrio quando i momenti della forza motrice e della forza resistente sono uguali:
Verricello e carrucole
La forza resistente è applicata al cilindro (braccio = raggio), la forza motrice alla manovella (braccio più lungo). Poiché bm > br, è sempre vantaggioso.
La carrucola fissa è una leva indifferente di primo genere: G = 1 (cambia solo la direzione della forza). La carrucola mobile è una leva di secondo genere: G = 2, quindi vantaggiosa.
Il baricentro e l'equilibrio
Il baricentro
Il peso è distribuito su tutto il volume, ma possiamo pensarlo concentrato in un punto detto baricentro (o centro di gravità). Nei corpi regolari e omogenei coincide con il centro di simmetria; nei corpi irregolari o non omogenei è spostato verso la parte più pesante.
Un corpo è omogeneo se ha densità costante (un cubo di legno); è non omogeneo se le sue parti hanno densità diverse (un martello: testa di ferro, manico di legno). Il baricentro si può trovare sperimentalmente con il filo a piombo.
Equilibrio stabile, instabile e indifferente
La stabilità di un corpo appoggiato
Un corpo appoggiato è in equilibrio finché la verticale passante per il baricentro cade entro la base di appoggio; altrimenti si ribalta. La stabilità è maggiore quando il baricentro è basso e la base d'appoggio è larga.
La mappa dei fondamentali
L'equilibrio
Rotazione
Macchine semplici e baricentro
Strumenti per allenarti
⚖ Altalena dei momenti
Imposta peso e braccio dei due lati: vedi l'altalena inclinarsi e scopri quando è in equilibrio (M1 = M2).
M1 = P1·b1 = 400·2,5 = 1000 N·m
M2 = P2·b2 = 500·2 = 1000 N·m
📐 Piano inclinato
Muovi massa e angolo: vedi le componenti del peso e l'attrito minimo per tenere fermo il corpo.
P = m·g = 98 N
P∥ = P·sen α = 49 N
P⊥ = P·cos α = 84,9 N
Serve almeno ks = tan α = 0,58 (così l'attrito statico tiene fermo il corpo).
M=F·b Calcolatore del momento
Inserisci la forza e il braccio: ottieni il momento (N·m). Puoi usare la virgola.
G Guadagno di una macchina
Inserisci forza resistente e forza motrice: ottieni il guadagno e capisci se la macchina conviene.
↔ Promemoria rapido
- punto materiale: R = 0
- corpo rigido: R = 0 e ΣM = 0
- forza equilibrante: Fe = −R
- piano inclinato: P∥ = P·sen α
- momento: M = F·b (+ antiorario)
- coppia: M = F·bc
- leva: Fm·bm = Fr·br
- guadagno: G = Fr/Fm