Le rappresentazioni di un fenomeno
Il fenomeno di partenza
Da un rubinetto esce un flusso d'acqua costante in un recipiente graduato inizialmente vuoto. Osserviamo che dopo 1 minuto ci sono 2 litri, dopo 2 minuti 4 litri, dopo 3 minuti 6 litri, e così via. Questo è il fenomeno: lo possiamo descrivere in tre modi diversi, ognuno con i suoi pregi.
1. La rappresentazione mediante tabella
La tabella mette in due colonne i valori delle due grandezze: il tempo t (variabile indipendente) e il volume V (variabile dipendente). Dà informazioni solo per gli istanti misurati.
| Tempo (min) | Volume (L) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
Dalla tabella non possiamo sapere quanta acqua c'è dopo 3,41 min: quel valore non è in elenco. La tabella è una "fotografia" di alcuni istanti, non di tutti.
2. La rappresentazione mediante grafico
Riportiamo il tempo sull'asse orizzontale (variabile indipendente) e il volume sull'asse verticale (variabile dipendente). Ogni coppia di valori della tabella diventa un punto del piano. Qui tutti i punti stanno su una stessa retta.
3. La rappresentazione mediante formula
La formula, o modello matematico del fenomeno, lega le due grandezze con un'equazione. Nella tabella si vede una regolarità: ogni volume si ottiene moltiplicando per 2 il tempo. Quindi:
Il numero 2 è la portata del rubinetto: 2 litri al minuto. È una costante che dipende dal fenomeno.
V = 2 · 3,41 = 6,82 L
Ecco perché, quando il modello è corretto, la formula è la rappresentazione più potente: permette di calcolare il valore in qualsiasi istante, anche fra una misura e l'altra.
Le tre rappresentazioni a confronto
Analogie tra fenomeni diversi
Un ciclista viaggia a 20 km/h: in 1 ora fa 20 km, in 2 ore 40 km. La formula è s = 20 · t. È la stessa identica forma di V = 2t! Due fenomeni fisici diversi (acqua e bicicletta) sono analoghi perché descritti da formule dello stesso tipo, e i loro grafici si somigliano.
I grafici cartesiani
Come si costruisce un grafico in fisica
- Su ogni asse si scrive la grandezza rappresentata e la sua unità di misura. Un grafico senza unità è incomprensibile.
- La variabile indipendente (spesso il tempo) va sull'asse orizzontale (x); la dipendente sull'asse verticale (y).
- Si scelgono le scale in modo da far entrare bene i valori più grandi della tabella (es. una tacca = 1 min sull'orizzontale, una tacca = 40 kg sulla verticale).
- Se le due grandezze variano con continuità, i punti si possono unire con una linea o una spezzata.
L'interpolazione grafica
L'interpolazione grafica consiste nello stimare un valore compreso fra due misure che abbiamo fatto, leggendolo direttamente sul grafico (di solito tracciando una retta verticale fino alla curva). È affidabile se il fenomeno ha un andamento regolare tra i punti misurati, ed è tanto più precisa quanto più i punti sono vicini fra loro.
La pendenza di una retta
Dati due punti qualsiasi su una retta, la pendenza è il rapporto tra la variazione dell'ordinata y e l'incremento dell'ascissa x:
Per una retta la pendenza è costante: scegli i due punti che vuoi, il rapporto non cambia.
pendenza = (10 − 4) L(5 − 2) min = 6 L3 min = 2 L/min (positiva: il volume aumenta)
2) Serbatoio che si svuota (parte da 20 L; punti (2 min; 12 L) e (4 min; 4 L)):
pendenza = (4 − 12) L(4 − 2) min = −8 L2 min = −4 L/min (negativa: il volume diminuisce)
La variazione Δ (delta)
Per indicare la variazione di una grandezza si usa la lettera greca Δ (si legge "delta"). Quindi Δy = y2 − y1 e Δx = x2 − x1. La pendenza diventa allora semplicemente:
Grafici a torta e istogrammi
Il grafico a torta
Il grafico a torta è un cerchio diviso in settori di dimensioni proporzionali ai valori. Si usa per rappresentare percentuali: le percentuali devono sommare a 100% (e i settori coprono i 360° del cerchio).
| Gas in atmosfera | Percentuale |
|---|---|
| azoto (N₂) | 78% |
| ossigeno (O₂) | 21% |
| argon (Ar) | 0,9% |
| altri gas | 0,1% |
L'istogramma
L'istogramma è formato da una serie di colonne di altezza diversa distribuite lungo l'asse x. L'altezza di ogni colonna è proporzionale alla percentuale (o alla frequenza) dei dati di quell'intervallo. Si usa quando vogliamo raggruppare i valori in classi (es. masse da 0 a 20 g, da 20 a 40 g…). Negli istogrammi veri le colonne rappresentano sempre intervalli; se invece i dati sono categorie separate (per esempio squadre o città), si parla più propriamente di diagramma a barre.
L'istogramma per una serie di misure
Quando l'istogramma rappresenta tante misure della stessa grandezza soggette a errori casuali (es. 20 cronometristi che misurano lo stesso tempo sui 100 m), può tendere ad assumere una forma a campana, se gli errori casuali sono numerosi e distribuiti in modo regolare, con un picco attorno al valore centrale più probabile.
Proporzionalità diretta e correlazione lineare
La proporzionalità diretta
Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: al raddoppiare di x raddoppia anche y, al triplicare di x triplica y.
k è la costante di proporzionalità (diversa da zero). Il grafico è una retta che passa per l'origine degli assi.
S = 1,5 · m → per 4 kg: S = 1,5 · 4 = 6,00 €
La coppia (0; 0) va sempre esclusa dalla formula y/x = k, perché non si può dividere per zero. Però il grafico passa proprio per l'origine: massa 0 → spesa 0.
La correlazione lineare
Due grandezze sono correlate linearmente se le loro variazioni rispetto a un punto iniziale sono direttamente proporzionali. Il grafico è ancora una retta, che in generale non passa per l'origine; se invece c = 0 la retta passa per l'origine e la relazione coincide con una proporzionalità diretta.
k = pendenza della retta; c = ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse y (il "valore di partenza", per x = 0).
V = 2 · t + 3
Qui k = 2 (pendenza) e c = 3 (i 3 litri iniziali, valore quando t = 0). Il grafico è una retta che parte dall'altezza 3, non dall'origine.
Altre relazioni matematiche
La proporzionalità quadratica
Due grandezze sono legate da proporzionalità quadratica se y è direttamente proporzionale al quadrato di x: al raddoppiare di x, y diventa 4 volte più grande; al triplicare, 9 volte.
Il grafico è una parabola. Esempio: l'area di un cerchio in funzione del raggio, A = π · r².
La proporzionalità inversa
Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: al raddoppiare di una, l'altra si dimezza.
Il grafico è una curva chiamata iperbole (definita per x ≠ 0). Esempio dell'asta in equilibrio: distanza × massa = 6000 g·cm (più ti allontani dal centro, meno massa serve).
I fenomeni periodici
Un fenomeno è periodico se si ripete identico a intervalli di tempo regolari (l'oscillazione di un pendolo, un disco sul giradischi, la vibrazione di una corda). Il tempo dopo il quale tutto si ripete si chiama periodo T.
Riconoscere la relazione: tabella riassuntiva
| Relazione | In simboli | Come cambia | Grafico |
|---|---|---|---|
| Proporzionalità diretta | y = k·x | x raddoppia → y raddoppia | retta per l'origine |
| Correlazione lineare | y = k·x + c | variazioni proporzionali | retta non per l'origine |
| Proporzionalità quadratica | y = k·x² | x raddoppia → y ×4 | parabola |
| Proporzionalità inversa | x·y = k | x raddoppia → y dimezza | iperbole |
Grafici ed errori
Interpolazione ed estrapolazione
Interpolazione grafica: stimo un valore compreso fra quelli misurati (dentro l'intervallo). È affidabile se il fenomeno ha un andamento regolare tra i punti misurati.
Estrapolazione grafica: prolungo la curva oltre i valori misurati, per stimare un valore esterno all'intervallo. È più rischiosa: niente ci garantisce che il fenomeno continui allo stesso modo.
La rappresentazione degli errori nei grafici
Ogni misura ha un'incertezza (errore). Sul grafico, un punto misurato non è "esatto": si rappresenta con un rettangolo d'incertezza centrato nel punto, di base pari al doppio dell'errore assoluto su x e altezza pari al doppio dell'errore assoluto su y. Se l'errore su una variabile è trascurabile, il rettangolo si riduce a un segmento (barra d'errore).
L'errore di sottocampionamento
È l'errore che si commette facendo misure a intervalli di tempo troppo grandi, così da "perdere" ciò che succede in mezzo.
La temperatura della città. Se misuro la temperatura solo alle 4 di notte, potrei ottenere un valore non rappresentativo dell'intera giornata: ho campionato un solo momento, non l'andamento completo.
La mappa dei fondamentali
A) Dalla formula alla tabella
- Parto dalla formula, es. V = 2 · t (V dipendente, t indipendente).
- Scelgo dei valori per la variabile indipendente (t = 0, 1, 2, 3…).
- Calcolo con la formula i corrispondenti valori di V e li metto in tabella.
B) Dalla tabella al grafico
- Disegno il piano cartesiano e scrivo su ogni asse grandezza e unità di misura.
- Scelgo le scale adatte ai valori della tabella.
- Per ogni coppia disegno un punto; poi unisco i punti con una linea o una spezzata.
C) Ricavare la formula da un grafico (retta)
La formula è y = k · x. Calcolo k come pendenza, scegliendo due punti sulla retta:
Es. punti (1; 2,5) e (3; 7,5): k = (7,5 − 2,5)/(3 − 1) = 2,5 → v = 2,5 t
La formula è y = k · x + c. Leggo c direttamente dal grafico (dove la retta taglia l'asse y) e calcolo k come pendenza.
Es. con c = 3 e k = 2 → V = 2 t + 3
Strumenti per allenarti
Δy/Δx Calcolatore di pendenza
Inserisci due punti della retta (x₁,y₁) e (x₂,y₂): ottieni la pendenza e capisci se sale o scende.
📈 Esploratore di relazioni
Scegli il tipo di legame e muovi i cursori: vedi il grafico cambiare e leggi la formula corrispondente.
Una retta che passa per l'origine: è la proporzionalità diretta.
↦ Da formula a tabella
Usa il tipo di relazione e i valori di k e c scelti qui sopra: genero la tabella dei punti per valori di x da 0 a 6 (per la proporzionalità inversa da 1 a 6, perché x = 0 non è ammesso).
↔ Promemoria rapido
- y = k·x → retta per l'origine
- y = k·x + c → retta (c = intercetta)
- y = k·x² → parabola
- x·y = k → iperbole
- torta → percentuali (somma 100)
- istogramma → intervalli / serie di misure
- pendenza = Δy / Δx (per le rette)
- Δ = variazione di una grandezza